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如图,不等边△ABC内接于⊙O,I是其内心,且AI⊥OI.求证:AB+AC=2BC.
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如图,不等边△ABC内接于⊙O,I是其内心,且AI⊥OI.
求证:AB+AC=2BC.
求证:AB+AC=2BC.
▼优质解答
答案和解析
证明:延长AI交⊙O于D,连接OA、OD、BD和BI,
∵OA=OD,OI⊥AD,
∴AI=ID,
又∠DBI=∠DBC+∠CBI=∠DAC+∠CBI,
=
(∠BAC+∠ABC)=∠DIB,
因此,BD=ID=AI,
易证
=
,
故OD⊥BC,记垂足为E,则有BE=
BC,
作IG⊥AB于G,又∠DBE=∠IAG,而BD=AI,
∴Rt△BDE≌Rt△AIG,
于是,AG=BE=
BC,但AG=
(AB+AC-BC),
故AB+AC=2BC.
∵OA=OD,OI⊥AD,
∴AI=ID,
又∠DBI=∠DBC+∠CBI=∠DAC+∠CBI,
=
1 |
2 |
因此,BD=ID=AI,
易证
BD |
DC |
故OD⊥BC,记垂足为E,则有BE=
1 |
2 |
作IG⊥AB于G,又∠DBE=∠IAG,而BD=AI,
∴Rt△BDE≌Rt△AIG,
于是,AG=BE=
1 |
2 |
1 |
2 |
故AB+AC=2BC.
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