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在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,P是△ABC内切圆M上的动点,求以PA,PB,PC为直径的三个圆的面积之和的最小值.

题目详情
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,P是△ABC内切圆M上的动点,求以PA,PB,PC为直径的三个圆的面积之和的最小值.
▼优质解答
答案和解析
建立坐标系 设A(8,0),B(0,6),C(0,0),P(x,y),△ABC内切圆半径为r.
∵三角形ABC面积 S=
1
2
AB×AC=
1
2
(AB+AC+BC)r=24,解得r=2
即内切圆圆心坐标为 (2,2)
∵P在内切圆上
∴(x-2)2+(y-2)2=4
∵P点到A,B,C距离的平方和为 d=x2+y2+(x-8)2+y2+x2+(y-6)2=3(x-2)2+3(y-2)2-4x+76=88-4x,
显然 0≤x≤4 即72≤d≤88,
∴以PA,PB,PC为直径的三个圆面积之和最小值为18π.