如图，已知BC是O的直径，AC切O于点C，AB交O于点D，E为AC的中点，连接CD，DE．（1）求证：DE是O的切线；（2）若BD=4，CD=3，求AC的长．

Question

如图，已知BC是 O的直径，AC切 O于点C，AB交 O于点D，E为AC的中点，连接CD，DE．

（1）求证：DE是 O的切线；
（2）若BD=4，CD=3，求AC的长．

Answer 1

（1）连接OD，∵BC是 O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∵E为AC的中点，
∴DE=EC=(1)/(2)AC，
∴∠1=∠2，
∵OD=OC，
∴∠3=∠4，
∵AC切 O于点C，
∴AC⊥OC，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴DE⊥OD，
∴DE是 O的切线；

（2）在Rt△BCD中，
∵BD=4，CD=3，
∴BC=√(BD2+CD2)=5，
∵∠BCD=∠BCA=90°，∠B=∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴(CD)/(AC)=(BD)/(BC)，即(3)/(AC)=(4)/(5)，
∴AC=(15)/(4)．