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已知:P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于A、B两点,点C为⊙O上一点.(1)如图1,若AC为直径,求证:OP∥BC;(2)如图2,若sin∠P=1213,求tan∠C的值.
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已知:P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于A、B两点,点C为⊙O上一点.
(1)如图1,若AC为直径,求证:OP∥BC;
(2)如图2,若sin∠P=
,求tan∠C的值.
(1)如图1,若AC为直径,求证:OP∥BC;
(2)如图2,若sin∠P=
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▼优质解答
答案和解析
证明:(1)连接AB交PO于M,
∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点,
∴PA=PB,OP平分∠APB,
∴AB⊥OP,
∴∠AMO=90°,
∵AB为直径,
∴∠ABC=90°,
∴∠AMO=∠ABC,
∴OP∥BC;
(2)连接AB,过A作AD⊥PB于D,作直径BE,连接AE,
∵PB为⊙O的切线,
∴BE⊥PB,
∴∠PBA+∠ABE=90°,
∵BE为直径,
∴∠BAE=90°,
∴∠E+∠ABE=90°,
∴∠E=∠ABP,
∵∠E=∠C,
∴∠C=∠ABP,
∵sin∠P=
,
∴设AD=12x,则PA=13x,PD=5x,
∴BD=8x,
∴tan∠ABD=
=
=
,
∴tan∠C=
.
∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点,
∴PA=PB,OP平分∠APB,
∴AB⊥OP,
∴∠AMO=90°,
∵AB为直径,
∴∠ABC=90°,
∴∠AMO=∠ABC,
∴OP∥BC;
(2)连接AB,过A作AD⊥PB于D,作直径BE,连接AE,
∵PB为⊙O的切线,
∴BE⊥PB,
∴∠PBA+∠ABE=90°,
∵BE为直径,
∴∠BAE=90°,
∴∠E+∠ABE=90°,
∴∠E=∠ABP,
∵∠E=∠C,
∴∠C=∠ABP,
∵sin∠P=
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∴设AD=12x,则PA=13x,PD=5x,
∴BD=8x,
∴tan∠ABD=
AD |
BD |
12x |
8x |
3 |
2 |
∴tan∠C=
3 |
2 |
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