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如图①,点M为锐角三角形ABC内任意一点,连接AM、BM、CM.以AB为一边向外作等边三角形△ABE,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN.(1)求证:△AMB≌△ENB;(2)若AM+BM+CM的值最小,则称

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如图①,点M为锐角三角形ABC内任意一点,连接AM、BM、CM.以AB为一边向外作等边三角形△ABE,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN.
(1)求证:△AMB≌△ENB;
(2)若AM+BM+CM的值最小,则称点M为△ABC的费尔马点.若点M为△ABC的费尔马点,试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数;
(3)小翔受以上启发,得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法:如图②,分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF,连接CE、BF,设交点为M,则点M即为△ABC的费尔马点.试说明这种作法的依据.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵△ABE为等边三角形,
∴AB=BE,∠ABE=60°.
而∠MBN=60°,
∴∠ABM=∠EBN.
在△AMB与△ENB中,
AB=BE
∠ABM=∠EBN
BM=BN

∴△AMB≌△ENB(SAS).

(2)连接MN.由(1)知,AM=EN.
∵∠MBN=60°,BM=BN,
∴△BMN为等边三角形.
∴BM=MN.
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.
∴当E、N、M、C四点共线时,AM+BM+CM的值最小.
此时,∠BMC=180°-∠NMB=120°;
∠AMB=∠ENB=180°-∠BNM=120°;
∠AMC=360°-∠BMC-∠AMB=120°.

(3)由(2)知,△ABC的费尔马点在线段EC上,同理也在线段BF上.
因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费尔马点.
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