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已知P是△ABC内一点,a,b,c为三角形的三条边,求证:PA+PB+PC<a+b+c.
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已知P是△ABC内一点,a,b,c为三角形的三条边,求证:PA+PB+PC<a+b+c.
▼优质解答
答案和解析
证明:延长BP交AC于D,
∵在△ABD中,AB+AD>BD=BP+PD,①
在△DPC中,DP+DC>PC,②
由①、②,
∴AB+(AD+DC)+DP>BP+PC+DP,
即AB+AC>PB+PC.即PB+PC<c+b,
同理,PB+PA<a+b,PA+PC<a+c,
∴PA+PB+PC<a+b+c.
∵在△ABD中,AB+AD>BD=BP+PD,①
在△DPC中,DP+DC>PC,②
由①、②,
∴AB+(AD+DC)+DP>BP+PC+DP,
即AB+AC>PB+PC.即PB+PC<c+b,
同理,PB+PA<a+b,PA+PC<a+c,
∴PA+PB+PC<a+b+c.
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