若一向量组线性无关,即使每一向量都在同一位置处增加一分量,仍然线性无关这句话求证

Question

若一向量组线性无关,即使每一向量都在同一位置处增加一分量,仍然线性无关 这句话 求证

Answer 1

这是个知识点:
1.线性相关的向量组,去掉若干个分量仍线性相关
2.线性无关的向量组,添加若干个分量仍线性无关.
证明:
向量组 a1,...,as 线性无关充分必要条件是
齐次线性方程组 x1a1+...+xsas = 0 (*) 只有零解.
对向量组a1,...,as 都在同一位置处增加一分量得向量组 b1,...,bs,
则对应的齐次线性方程组x1b1+...+xsbs = 0 (**) 比方程组(*) 多了一个方程.
而(*) 只有零解,故(**)也只有零解 --这是因为多一方程即多了对未知量的限制,
所以b1,...,bs也线性无关.