设在[0，+∞）上函数f（x）有连续导数，且f′（x）≥k＞0，f（0）＜0，证明f（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点．

Question

设在[0，+∞）上函数f（x）有连续导数，且f′（x）≥k＞0，f（0）＜0，
证明f（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点．

Answer 1

证明：
根据题意有：f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）严格单调递增，
根据函数的单调性可知，f（x）在（0，+∞）上至多有一个零点，①
又由于：对于任意的t∈（0，+∞），f′（t）≥k＞0成立，
不等式两边对t从0到x的积分，由积分保号性有：

∫

x 0

f′（t）dt≥

∫

x 0

kdt，
即：f（x）-f（0）≥kx，
从而：f（x）≥kx+f（0），
于是：f（x）→∞，当x→∞（∵k＞0），
则存在某点x₀，使得：f（x₀）＞0，
从而：在区间[0，x₀]内，
f（0）＜0，f（x₀）＞0，
由f（x）的连续性，知：在（0，x₀）内必有一点使得函数值等于零，
又由①式可得：f（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点，证毕．