证明三次多项式f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a不等于0)有且仅有一个拐点(x0,f(x0)),且若f(x1)=f(x2)=f(x3)=0,则x0=(x1+x2+x3)/3.

Question

证明三次多项式f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a不等于0)有且仅有一个拐点(x0,f(x0)),且若f(x1)=f(x2)=f(x3)=0,则x0=(x1+x2+x3)/3.

Answer 1

证明：
f''(x) = 6ax+2b
因为, (x0,f(x0))是f(x)的拐点
所以, f''(x0) = 0, 即6ax0+2b=0
所以x0 = b/(-3a) .(1)
由f(x1)=f(x2)=f(x3)=0知x1,x2,x3为f(x)=0的三个根
由韦达定理（一元三次）可得x1+x2+x3 = -b/a .(2)
(1)(2)两式可得x0=(x1+x2+x3)/3