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在△ABC中,AB=AC,D为射线BC上一点,DB=DA,E为射线AD上一点,且AE=CD,连接BE.(1)如图1,若∠ADB=120°,AC=23,求DE的长;(2)如图2,若BE=2CD,连接CE并延长交AB于点F,求证:CF=3EF;(3)如图
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在△ABC中,AB=AC,D为射线BC上一点,DB=DA,E为射线AD上一点,且AE=CD,连接BE.
(1)如图1,若∠ADB=120°,AC=2
,求DE的长;
(2)如图2,若BE=2CD,连接CE并延长交AB于点F,求证:CF=3EF;
(3)如图3,若BE⊥AD,垂足为点E,猜想AE,BE,BD之间的数量关系,直接写出关系式.
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(1)如图1,若∠ADB=120°,AC=2
3 |
(2)如图2,若BE=2CD,连接CE并延长交AB于点F,求证:CF=3EF;
(3)如图3,若BE⊥AD,垂足为点E,猜想AE,BE,BD之间的数量关系,直接写出关系式.
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▼优质解答
答案和解析
(1)
∵DA=DB,∠ADB=120°,
∴∠ABC=∠BAD=30°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=30°,
∴∠CAD=90°,
在RtACD中,tan30°=
,
∴AD=2
×
=2,AE=CD=2AD=4
∴DE=AE-AD=CD-AD=4-2=2;
(2)证明:
如图,过A作AG∥BC,
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∵DB=DA,AB=AC,
∴∠BAD=∠ABC,∠ABC=∠ACB,
∴∠BAD=∠ACB,
∵AE=CD,
在△ABE和△CAD中
∴△ABE≌△CAD(SAS),
∴BE=AD,
∵BE=2CD,
∴AD=2CD=2AE,
∴AE=DE,
∵AG∥BC,
∴∠G=∠DCE,∠GAE=∠CDE,
在△AGE和△DCE中
∴△AGE≌△DCE(AAS),
∴GE=CE,AG=CD=AE,
∴△AGE为等腰三角形,
∴∠GAF=∠ABC=∠BAD,
∴F为GE的中点,
∴CE=EG=2EF,
∴CF=3EF;
(3)如图3,
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取BE中点M,延长AM至N,使MN=AM,连接BN,EN,
∴四边形ABNE是平行四边形,
∴AE∥BN,
∴∠NBC=∠D,BN=AE=CD,
∵AB=AC,DB=DA,
∴∠ABC=∠ACB=∠BAD,
∴∠BAC=∠D=∠NBC,
∵∠BAN=∠NBC+∠ABC,
∠ACD=∠BAC+∠ABC,
∴∠ABN=∠ACD,
在△ABN和△ACD中
∴△ABN≌△ACD(SAS),
∴BD=AD=AN=2AM,
∵BE⊥AD,
∴AE2+ME2=AM2,
∴AE2+(
BE)2=(
AN)2,
∴AE2+
BE2=
BD2
∵DA=DB,∠ADB=120°,
∴∠ABC=∠BAD=30°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=30°,
∴∠CAD=90°,
在RtACD中,tan30°=
AD |
AC |
∴AD=2
3 |
| ||
3 |
∴DE=AE-AD=CD-AD=4-2=2;
(2)证明:
如图,过A作AG∥BC,
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∵DB=DA,AB=AC,
∴∠BAD=∠ABC,∠ABC=∠ACB,
∴∠BAD=∠ACB,
∵AE=CD,
在△ABE和△CAD中
|
∴△ABE≌△CAD(SAS),
∴BE=AD,
∵BE=2CD,
∴AD=2CD=2AE,
∴AE=DE,
∵AG∥BC,
∴∠G=∠DCE,∠GAE=∠CDE,
在△AGE和△DCE中
|
∴△AGE≌△DCE(AAS),
∴GE=CE,AG=CD=AE,
∴△AGE为等腰三角形,
∴∠GAF=∠ABC=∠BAD,
∴F为GE的中点,
∴CE=EG=2EF,
∴CF=3EF;
(3)如图3,
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取BE中点M,延长AM至N,使MN=AM,连接BN,EN,
∴四边形ABNE是平行四边形,
∴AE∥BN,
∴∠NBC=∠D,BN=AE=CD,
∵AB=AC,DB=DA,
∴∠ABC=∠ACB=∠BAD,
∴∠BAC=∠D=∠NBC,
∵∠BAN=∠NBC+∠ABC,
∠ACD=∠BAC+∠ABC,
∴∠ABN=∠ACD,
在△ABN和△ACD中
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∴△ABN≌△ACD(SAS),
∴BD=AD=AN=2AM,
∵BE⊥AD,
∴AE2+ME2=AM2,
∴AE2+(
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∴AE2+
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作业搜用户
2017-09-12
看了 在△ABC中,AB=AC,D...的网友还看了以下:
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