在△ABC中，AB=AC，D为射线BC上一点，DB=DA，E为射线AD上一点，且AE=CD，连接BE．（1）如图1，若∠ADB=120°，AC=23，求DE的长；（2）如图2，若BE=2CD，连接CE并延长交AB于点F，求证：CF=3EF；（3）如图

Question

在△ABC中，AB=AC，D为射线BC上一点，DB=DA，E为射线AD上一点，且AE=CD，连接BE．
（1）如图1，若∠ADB=120°，AC=2√(3)，求DE的长；
（2）如图2，若BE=2CD，连接CE并延长交AB于点F，求证：CF=3EF；
（3）如图3，若BE⊥AD，垂足为点E，猜想AE，BE，BD之间的数量关系，直接写出关系式．

Answer 1

（1）
∵DA=DB，∠ADB=120°，
∴∠ABC=∠BAD=30°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=30°，
∴∠CAD=90°，
在RtACD中，tan30°=(AD)/(AC)，
∴AD=2√(3)×(√(3))/(3)=2，AE=CD=2AD=4
∴DE=AE-AD=CD-AD=4-2=2；
（2）证明：
如图，过A作AG∥BC，

∵DB=DA，AB=AC，
∴∠BAD=∠ABC，∠ABC=∠ACB，
∴∠BAD=∠ACB，
∵AE=CD，
在△ABE和△CAD中

AB=AC

∠BAE=∠ACD

AE=CD

∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE=AD，
∵BE=2CD，
∴AD=2CD=2AE，
∴AE=DE，
∵AG∥BC，
∴∠G=∠DCE，∠GAE=∠CDE，
在△AGE和△DCE中

∠G=∠DCE

∠AEG=∠CED

AE=DE

∴△AGE≌△DCE（AAS），
∴GE=CE，AG=CD=AE，
∴△AGE为等腰三角形，
∴∠GAF=∠ABC=∠BAD，
∴F为GE的中点，
∴CE=EG=2EF，
∴CF=3EF；
（3）如图3，

取BE中点M，延长AM至N，使MN=AM，连接BN，EN，
∴四边形ABNE是平行四边形，
∴AE∥BN，
∴∠NBC=∠D，BN=AE=CD，
∵AB=AC，DB=DA，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAD，
∴∠BAC=∠D=∠NBC，
∵∠BAN=∠NBC+∠ABC，
∠ACD=∠BAC+∠ABC，
∴∠ABN=∠ACD，
在△ABN和△ACD中

BN=CD

∠ABN=∠ACD

AB=AC

∴△ABN≌△ACD（SAS），
∴BD=AD=AN=2AM，
∵BE⊥AD，
∴AE²+ME²=AM²，
∴AE²+（(1)/(2)BE）²=（(1)/(2)AN）²，
∴AE²+(1)/(4)BE²=(1)/(4)BD²

作业搜用户 2017-09-12