设A,B为正交矩阵,且|A|+|B|=0,证明|A+B|=0

Question

设A,B为正交矩阵,且|A|+|B|=0,证明|A+B|=0

Answer 1

解: 由已知A,B均为n阶正交矩阵
所以 AA^T=A^TA=E, BB^T=B^TB=E
且正交矩阵的行列式等于1或-1
因为 |A|+|B|=0
所以|A|,|B|必为一正一负
所以 |A||B|=-1
所以 |A^T||B^T|=-1
所以 -|A+B|
= |A^T||A+B||B^T|
= |A^T(A+B)B^T|
= |A^TAB^T+A^TBB^T|
= |B^T+A^T|
= |(A+B)^T|
= |A+B|
所以有 2|A+B| = 0
所以 |A+B| = 0.