在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a上的高位h,且a=3h,则c/b+b/c的最大值为

Question

在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a上的高位h,且a=3h,则c/b+b/c的最大值为

Answer 1

SΔABC=1/2ah=3/2*h^2,SΔABC=1/2bc*sinA,
∴bc=3h^2/sinA,
由余弦定理得：a^2=b^2+c^2-2bc*cosA,∴b^2+c^2=9h^2+2bc*cosA,
c/b+b/c=(b^2+c^2)/bc
=(9h^2+2bc*cosA)/bc
=9h^2/bc+2cosA
=3sinA+2cosA
=√13(3/√13*sinA+2/√13*cosA)
=√13*sin(α+A)——其中：sinα=3/√13,cosα=2/√13,
∵sin(α+A)的最大值为,
∴c/b+b/c的最大值为√13.