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如图,正方形ABCD中,点E是对角线BD上一点,点F是边BC上一点,点G是边CD上一点,BE=2ED,CF=2BF,连接AE并延长交CD于G,连接AF、EF、FG.给出下列五个结论:①DG=GC;②∠FGC=∠AGF;③S△ABF=S△FCG
题目详情
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/16/1534403020-5333.jpg)
2 |
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
▼优质解答
答案和解析
①∵BE=2DE
∴
=
=
∴DG=
AB
∵AB=CD
∴DG=
CD
∴DG=CG
故本选项正确
②设BF=1,则CF=2,AB=AD=3,DG=CG=
,
过点E作AB的平行线,交AD于M,交BC于N,
可得四边形MNCD是矩形,△AMG∽ADG,且相似比为
,
∵AD=3,
∴AM
=2,DM=1,NC=1,
则BN=BC-NC=2,FN=BN-BF=1,
∵MD∥BN,
∴△MDE∽NBE,
且相似比
,
∴ME=1,EN=2,
在Rt△EFN中,
EF=
=
,
在Rt△AME中,
AE=
=
,
在Rt△ABF中,
AF=
=
,
∴AE2+EF2=AF2,
∴∠AEF=90°,
∵AG=
=
∴EG=
,
∴tan∠AGF=
=2,
又tan∠FGC=
,
∴∠FGC≠∠AGF,
故本选项错误
③∵S△ABF=
×1×3=
S△FCG=
×2×1.5
=
∴S△ABF=SFCG
故本选项正确
④连接EC,过E点作EH⊥BC,垂足为H,
由②可知AF=
,
∵BE=2ED,
∴BH=2HC,EH=
CD=2,
又∵CF=2BF,
∴H为FC的中点,FH=1,
∴在Rt△HEF中:
∵EF=
=
=
AF=
∴AF=
EF
故本选项正确.![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/16/1534403020-3649.jpg)
⑤过A点作AO⊥BD,垂足为O,
∵
=
=
,
∴Rt△ABF∽Rt△AOE,
∴∠AFB=∠AEB.
故本选项正确.
故选B.
∴
DG |
AB |
DE |
BE |
1 |
2 |
∴DG=
1 |
2 |
∵AB=CD
∴DG=
1 |
2 |
∴DG=CG
故本选项正确
②设BF=1,则CF=2,AB=AD=3,DG=CG=
3 |
2 |
过点E作AB的平行线,交AD于M,交BC于N,
可得四边形MNCD是矩形,△AMG∽ADG,且相似比为
2 |
3 |
∵AD=3,
∴AM
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/16/1534403020-5438.jpg)
则BN=BC-NC=2,FN=BN-BF=1,
∵MD∥BN,
∴△MDE∽NBE,
且相似比
1 |
2 |
∴ME=1,EN=2,
在Rt△EFN中,
EF=
EN2+FN2 |
5 |
在Rt△AME中,
AE=
AM2+AE2 |
5 |
在Rt△ABF中,
AF=
32+12 |
10 |
∴AE2+EF2=AF2,
∴∠AEF=90°,
∵AG=
(
|
3 |
2 |
5 |
∴EG=
| ||
2 |
∴tan∠AGF=
EF |
EG |
又tan∠FGC=
4 |
3 |
∴∠FGC≠∠AGF,
故本选项错误
③∵S△ABF=
1 |
2 |
3 |
2 |
S△FCG=
1 |
2 |
=
3 |
2 |
∴S△ABF=SFCG
故本选项正确
④连接EC,过E点作EH⊥BC,垂足为H,
由②可知AF=
10 |
∵BE=2ED,
∴BH=2HC,EH=
2 |
3 |
又∵CF=2BF,
∴H为FC的中点,FH=1,
∴在Rt△HEF中:
∵EF=
FH2+EH2 |
=
12+22 |
5 |
AF=
10 |
∴AF=
2 |
故本选项正确.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/16/1534403020-3649.jpg)
⑤过A点作AO⊥BD,垂足为O,
∵
AB |
AO |
AF |
AE |
| ||
1 |
∴Rt△ABF∽Rt△AOE,
∴∠AFB=∠AEB.
故本选项正确.
故选B.
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