如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，点F是边BC上一点，点G是边CD上一点，BE=2ED，CF=2BF，连接AE并延长交CD于G，连接AF、EF、FG．给出下列五个结论：①DG=GC；②∠FGC=∠AGF；③S△ABF=S△FCG

Question

如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，点F是边BC上一点，点G是边CD上一点，BE=2ED，CF=2BF，连接AE并延长交CD于G，连接AF、EF、FG．给出下列五个结论：①DG=GC；②∠FGC=∠AGF；③S_△ABF=S_△FCG；④AF=√(2)EF；⑤∠AFB=∠AEB．其中正确结论的个数是（　　）

A．5个
B．4个
C．3个
D．2个

Answer 1

①∵BE=2DE
∴(DG)/(AB)＝(DE)/(BE)=(1)/(2)
∴DG＝(1)/(2)AB
∵AB=CD
∴DG=(1)/(2)CD
∴DG=CG
故本选项正确
②设BF=1，则CF=2，AB=AD=3，DG=CG=(3)/(2)，
过点E作AB的平行线，交AD于M，交BC于N，
可得四边形MNCD是矩形，△AMG∽ADG，且相似比为(2)/(3)，
∵AD=3，
∴AM=2，DM=1，NC=1，
则BN=BC-NC=2，FN=BN-BF=1，
∵MD∥BN，
∴△MDE∽NBE，
且相似比(1)/(2)，
∴ME=1，EN=2，
在Rt△EFN中，
EF=√(EN2+FN2)=√(5)，
在Rt△AME中，
AE=√(AM2+AE2)=√(5)，
在Rt△ABF中，
AF=√(32+12)＝√(10)，
∴AE²+EF²=AF²，
∴∠AEF=90°，
∵AG=√(((3)/(2))2+32)=(3)/(2)√(5)
∴EG=(√(5))/(2)，
∴tan∠AGF=(EF)/(EG)=2，
又tan∠FGC=(4)/(3)，
∴∠FGC≠∠AGF，
故本选项错误
③∵S△ABF＝(1)/(2)×1×3＝(3)/(2)
S△FCG＝(1)/(2)×2×1.5
=(3)/(2)
∴S_△ABF=S_FCG
故本选项正确
④连接EC，过E点作EH⊥BC，垂足为H，
由②可知AF=√(10)，
∵BE=2ED，
∴BH=2HC，EH=(2)/(3)CD=2，
又∵CF=2BF，
∴H为FC的中点，FH=1，
∴在Rt△HEF中：
∵EF=√(FH2+EH2)
=√(12+22)=√(5)
AF=√(10)
∴AF=√(2)EF
故本选项正确．
⑤过A点作AO⊥BD，垂足为O，
∵(AB)/(AO)＝(AF)/(AE)＝(√(2))/(1)，
∴Rt△ABF∽Rt△AOE，
∴∠AFB=∠AEB．
故本选项正确．
故选B．