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(2014•牡丹江)如图,在等边△ABC中,点D在直线BC上,连接AD,作∠ADN=60°,直线DN交射线AB于点E,过点C作CF∥AB交直线DN于点F.(1)当点D在线段BC上,∠NDB为锐角时,如图①,求证:CF+BE=CD
题目详情
(2014•牡丹江)如图,在等边△ABC中,点D在直线BC上,连接AD,作∠ADN=60°,直线DN交射线AB于点E,过点C作CF∥AB交直线DN于点F.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/17/1534467998-4179.jpg)
(1)当点D在线段BC上,∠NDB为锐角时,如图①,求证:CF+BE=CD;
(提示:过点F作FM∥BC交射线AB于点M.)
(2)当点D在线段BC的延长线上,∠NDB为锐角时,如图②;当点D在线段CB的延长线上,∠NDB为钝角时,如图③,请分别写出线段CF,BE,CD之间的数量关系,不需要证明;
(3)在(2)的条件下,若∠ADC=30°,S△ABC=4
,则BE=______,CD=______.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/17/1534467998-4179.jpg)
(1)当点D在线段BC上,∠NDB为锐角时,如图①,求证:CF+BE=CD;
(提示:过点F作FM∥BC交射线AB于点M.)
(2)当点D在线段BC的延长线上,∠NDB为锐角时,如图②;当点D在线段CB的延长线上,∠NDB为钝角时,如图③,请分别写出线段CF,BE,CD之间的数量关系,不需要证明;
(3)在(2)的条件下,若∠ADC=30°,S△ABC=4
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▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图①,过点F作FM∥BC交射线AB于点M,
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/17/1534467998-9177.jpg)
∵CF∥AB,
∴四边形BMFC是平行四边形,
∴BC=MF,CF=BM,
∴∠ABC=∠EMF,∠BDE=∠MFE,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,BC=AC,
∴∠EMF=∠ACB,AC=MF,
∵∠ADN=60°,
∴∠BDE+∠ADC=120°,∠ADC+∠DAC=120°,
∴∠BDE=∠DAC,
∴∠MFE=∠DAC,
在△MEF与△CDA中,
,
∴△MEF≌△CDA(AAS),
∴CD=ME=EB+BM,
∴CD=BE+CF.
(2)如图②,CF+CD=BE,如图③,CF-CD=BE;![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/17/1534467998-3081.jpg)
(3)∵△ABC是等边三角形,S△ABC=4
,
∴易得AB=BC=AC=4,
如图②,
∵∠ADC=30°,∠ACB=60°,
∴CD=AC=4,
∵∠ADN=60°,
∴∠CDF=30°,
又∵CF∥AB,
∴∠BCF=∠ABC=60°,
∴∠CFD=∠CDF=30°,
∴CD=CF,
由(2)知BE=CF+CD,
∴BE=4+4=8.
如图③,
∵∠ADC=30°,∠ABC=60°,
∴∠BAD=∠ADC=30°,
∴BD=BA=4,
∴CD=BD+BC=4+4=8,
∵∠ADN=60°,∠ADC=30°,
∴∠BDE=90°,
又∵∠DBE=∠ABC=60°,
∴∠DEB=30°,
在Rt△BDE中,∠DEB=30°,BD=4,
∴BE=2BD=8,
综上,BE=8,CD=4或8.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/17/1534467998-9177.jpg)
∵CF∥AB,
∴四边形BMFC是平行四边形,
∴BC=MF,CF=BM,
∴∠ABC=∠EMF,∠BDE=∠MFE,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,BC=AC,
∴∠EMF=∠ACB,AC=MF,
∵∠ADN=60°,
∴∠BDE+∠ADC=120°,∠ADC+∠DAC=120°,
∴∠BDE=∠DAC,
∴∠MFE=∠DAC,
在△MEF与△CDA中,
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∴△MEF≌△CDA(AAS),
∴CD=ME=EB+BM,
∴CD=BE+CF.
(2)如图②,CF+CD=BE,如图③,CF-CD=BE;
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/17/1534467998-3081.jpg)
(3)∵△ABC是等边三角形,S△ABC=4
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∴易得AB=BC=AC=4,
如图②,
∵∠ADC=30°,∠ACB=60°,
∴CD=AC=4,
∵∠ADN=60°,
∴∠CDF=30°,
又∵CF∥AB,
∴∠BCF=∠ABC=60°,
∴∠CFD=∠CDF=30°,
∴CD=CF,
由(2)知BE=CF+CD,
∴BE=4+4=8.
如图③,
∵∠ADC=30°,∠ABC=60°,
∴∠BAD=∠ADC=30°,
∴BD=BA=4,
∴CD=BD+BC=4+4=8,
∵∠ADN=60°,∠ADC=30°,
∴∠BDE=90°,
又∵∠DBE=∠ABC=60°,
∴∠DEB=30°,
在Rt△BDE中,∠DEB=30°,BD=4,
∴BE=2BD=8,
综上,BE=8,CD=4或8.
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