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在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c•cosB=2a+b,若△ABC的面积为S=32c,则ab的最小值为.
题目详情
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c•cosB=2a+b,若△ABC的面积为S=
c,则ab的最小值为 ___ .
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▼优质解答
答案和解析
在△ABC中,由条件里用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin(B+C)+sinB,
即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB,∴2sinBcosC+sinB=0,∴cosC=-
,C=
.
由于△ABC的面积为S=
ab•sinC=
ab=
c,∴c=
ab.
再由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab•cosC,整理可得
a2b2=a2+b2+ab≥3ab,当且仅当a=b时,取等号,∴ab≥12,
故答案为:12.
即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB,∴2sinBcosC+sinB=0,∴cosC=-
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2π |
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由于△ABC的面积为S=
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再由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab•cosC,整理可得
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故答案为:12.
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