设0＜a,b,c＜1,证明：（1-a）b,（1-b）c,（1-c）a不能都大于1/4

Question

设0＜a,b,c＜1,证明：（1-a）b,（1-b）c,（1-c）a不能都大于1/4

Answer 1

反证法.
若不然,则有：
(1-a)b＞1/4,
(1-b)c＞1/4.
(1-c)a＞1/4
上面三个式子的两边开平方,可得：
2√[(1-a)b]＞1
2√[(1-b)c]＞1
2√[(1-c)a]＞1
结合基本不等式可得：
(1-a)+b≥2√[(1-a)b]＞1
(1-b)+c≥2√[(1-b)c]＞1
(1-c)+a≥2√[(1-c)a]＞1
上面三式相加,可得：
3＞3.
矛盾,
∴原命题正确.