设函数f（x）=ax+xlnx，g（x）=x3-x2-3．（I）如果存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（II）如果对于任意的s、t∈[12，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求

Question

设函数f（x）=(a)/(x)+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（I）如果存在x₁、x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（II）如果对于任意的s、t∈[(1)/(2)，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围..

Answer 1

（I）存在x₁、x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立等价于g（x）_max-g（x）_min≥M
∵g（x）=x³-x²-3，∴g′(x)＝3x(x−(2)/(3))
∴g（x）在（0，(2)/(3)）上单调递减，在（(2)/(3)，2）上单调递增
∴g（x）_min=g（(2)/(3)）=-(85)/(27)，g（x）_max=g（2）=1
∴g（x）_max-g（x）_min=(112)/(27)
∴满足的最大整数M为4；
（II）对于任意的s、t∈[(1)/(2)，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）_max．
由（I）知，在[(1)/(2)，2]上，g（x）_max=g（2）=1
∴在[(1)/(2)，2]上，f（x）=(a)/(x)+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x-x²lnx恒成立
记h（x）=x-x²lnx，则h′（x）=1-2xlnx-x且h′（1）=0
∴当(1)/(2)＜x＜1时，h′（x）＞0；当1＜x＜2时，h′（x）＜0
∴函数h（x）在（(1)/(2)，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，
∴h（x）_max=h（1）=1
∴a≥1