设函数f（x，y）可微，且满足f（1，1）=1，fx（1，1）=a，fy（1，1）=b，又记g（x）=f[x，f（x，f（x，x））]，则g′（1）=．

Question

设函数f（x，y）可微，且满足f（1，1）=1，f_x（1，1）=a，f_y（1，1）=b，又记g（x）=f[x，f（x，f（x，x））]，则g′（1）=___．

Answer 1

设v=f（x，x），u=f（x，v），则g（x）=f（x，u）
∴g′（x）=f′₁（x，u）+f′₂（x，u）•u′_x
而u′_x=f′₁（x，v）+f′₂（x，v）•v′_x
v′_x=f′₁（x，x）+f′₂（x，x）
∴g'（x）=f′₁（x，u）+f′₂（x，u）•[f′₁（x，v）+f′₂（x，u）（f′₁（x，x）+f′₂（x，x））]
又已知
f（1，1）=1，f_x（1，1）=a，f_y（1，1）=b
∴g′（1）=f′₁（1，1）+f′₂（1，1）•[f′₁（1，1）+f′₂（1，1）（f′₁（1，1）+f′₂（1，1））]
=a+b[a+b（a+b）]