设函数f（x）=x2lnx-ax2+b在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=-x+b．（Ⅰ）求实数a及x0的值；（Ⅱ）求证：对任意实数b∈（0，e2），函数f（x）有且仅有两个零点．

Question

设函数f（x）=x²lnx-ax²+b在点（x₀，f（x₀））处的切线方程为y=-x+b．
（Ⅰ）求实数a及x₀的值；
（Ⅱ）求证：对任意实数b∈（0，(e)/(2)），函数f（x）有且仅有两个零点．

Answer 1

（Ⅰ） f′（x）=2xlnx+x-2ax，
即有在点（x₀，f（x₀））处的切线斜率为k=2x₀lnx₀+x₀-2ax₀，
由于在点（x₀，f（x₀））处的切线方程为y=-x+b，
则有2x₀lnx₀+x₀-2ax₀=-1，x₀²lnx₀-ax₀²+b=b-x₀，
解得x₀=1，a=1；
（Ⅱ）证明：函数f（x）=x²lnx-x²+b，b∈（0，(e)/(2)），
f′（x）=2xlnx-x，令f′（x）=0，解得x=√(e)，
0<x<√(e)，f′（x）<0，f（x）递减，
x>√(e)，f′（x）>0，f（x）递增．
即有f（x）在x=√(e)处取得极小值，也为最小值，且为f（√(e)）=(1)/(2)e-e+b<0，
f（e）=e²-e²+b>0，
即有f（x）在（√(e)，e）一定有一解．
下证f（x）在0<x<√(e)时，f（x）>0．
令h（x）=xlnx-x，h′（x）=lnx，
0<x<1，h（x）递减，h（x）>h（1）=-1，
由f（x）=x（xlnx-x）+b=xh（x）+b，
即有f（x）>b-x，
取x₁∈[1，√(e)]，则f（x₁）>b-x₁>0，
则有f（x）在（x₁，√(e)）上一定有一解．
综上所述，可得对任意实数b∈（0，(e)/(2)），
函数f（x）有且仅有两个零点．