设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=1，2Snn=an+1-13n2-n-23，n∈N*．（1）求a2的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有1a1+1a2+…+1an＜74．

Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=1，(2Sn)/(n)=a_n+1-(1)/(3)n²-n-(2)/(3)，n∈N^*．
（1）求a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有(1)/(a1)+(1)/(a2)+…+(1)/(an)＜(7)/(4)．

Answer 1

（1）∵(2Sn)/(n)=a_n+1-(1)/(3)n²-n-(2)/(3)，n∈N．
∴当n=1时，2a₁=2S₁=a₂-(1)/(3)-1-(2)/(3)=a₂-2．
又a₁=1，∴a₂=4．
（2）∵(2Sn)/(n)=a_n+1-(1)/(3)n²-n-(2)/(3)，n∈N．
∴2S_n=na_n+1-(1)/(3)n³-n²-(2)/(3)n
=na_n+1-(n(n+1)(n+2))/(3)，①
∴当n≥2时，2S_n-1=（n-1）a_n-((n−1)n(n+1))/(3)，②
由①-②，得2S_n-2S_n-1=na_n+1-（n-1）a_n-n（n+1），
∵2a_n=2S_n-2S_n-1，∴2a_n=na_n+1-（n-1）a_n-n（n+1），
∴(an+1)/(n+1)-(an)/(n)=1，∴数列{a_n}是以首项为1，公差为1的等差数列．
∴(an)/(n)=1+1×（n-1）=n，∴a_n=n²（n≥2），
当n=1时，上式显然成立．∴a_n=n²，n∈N^*．
（3）证明：由（2）知，a_n=n²，n∈N^*，
①当n=1时，(1)/(a1)=1＜(7)/(4)，∴原不等式成立．
②当n=2时，(1)/(a1)+(1)/(a2)=1+(1)/(4)＜(7)/(4)，∴原不等式成立．
③当n≥3时，∵n²＞（n-1）•（n+1），
∴(1)/(n2)＜(1)/((n−1)•(n+1))，
∴(1)/(a相关问答设集合A={x|（x-4）（x-a）=0，a∈R}设ab均为n阶方阵,下面结论真确的是（）A若A,B设函数f（x）=|2x+1|-|x-3|（1）求函设F(x)=∫sint*e^sintdt,上限是x设y=f（x）是第一象限内连接点A（0，1），B（设函数f（x）在[0，1]上连续，且∫10f（x）已知函数f（x）=ax+1−xax（a＞0）．（1设函数fx=|2x-1|-|x+2|高中数学题，急设关于x，y的不等式组2x-y+1＞0，x+m＜0设集合A={x，y}，集合B={0，x2}，若A=怎么设x=my+a老师说做圆锥曲线题时,有时设这个圆锥曲线问题什么时候直线设x=my+t?这样做的目首页语文数学英语物理化学历史政治生物其他Copyright © 2019 zaojiaoba.cn All Rights Reserved 版权所有 作业搜本站资料来自网友投稿及互联网，如有侵犯你的权益，请联系我们：[e-mail]湘ICP备12012010号)