已知函数在某点的某去心邻域内可导,在该点某邻域内连续,求证该函数的导函数在该点某邻域内连续我觉得没有问题,可是问题是做题的时候推导过程怎么写啊,不能写“我觉得命题成立”吧.

Question

已知函数在某点的某去心邻域内可导,在该点某邻域内连续,求证该函数的导函数在该点某邻域内连续
我觉得没有问题,可是问题是做题的时候推导过程怎么写啊,不能写“我觉得命题成立”吧.

Answer 1

已知f(x)在(a-t,a+t)连续,在(a-t,a)∪(a,a+t)可导,求证f'(x)在a的某邻域内连续?
这个结论是不成立的,在此条件下,f'(x)甚至未必在a有定义,例如f(x) = |x|,a = 0.
即便将条件加强为f(x)在(a-t,a+t)可导,仍然有反例:f(x) = x^2·sin(1/x) (x ≠ 0),f(0) = 0.
可以证明f(x)处处可导,f'(0) = 0,但对x ≠ 0,f'(x) = 2x·sin(1/x)-cos(1/x).
可知0是f'(x)的第二类间断点.
即便进一步将结论减弱为f'(x)在a的某去心邻域内连续也是不成立的.
从上面的构造出发,用函数项级数可以构造F(x) = ∑{1 ≤ n} f(x-1/n)/2^n,
其中f(x) = x^2·sin(1/x) (x ≠ 0),f(0) = 0.
F(x)同样处处可导,但F'(x)在1,1/2,1/3,1/4,...处都不连续.
因此F'(x)不在0的任意去心邻域内连续.