已知双曲线的焦点在x轴上，且过点A（1，0）和B（-1，0），P是双曲线上异于A、B的任一点，如果△APB的垂心H总在双曲线上，求双曲线的标准方程．

Question

已知双曲线的焦点在x轴上，且过点A（1，0）和B（-1，0），P是双曲线上异于A、B的任一点，如果△APB的垂心H总在双曲线上，求双曲线的标准方程．

Answer 1

依题意设双曲线的标准方程为(x2)/(a2)− (y2)/(b2)＝1，
因为a=1，所以双曲线的标准方程为x2−(y2)/(b2)＝1．
又△APB的垂心H总在双曲线上，所以点P、H关于x轴对称，
设点P的坐标为（m，n），则点H的坐标为（m，-n），
所以

m2 −(n2)/(b2)＝1

(n)/(m+1)•(−n)/(m−1)＝−1 

，解得b=1，
故双曲线的标准方程为x²-y²=1．