6、设A为n阶对称阵,P为n阶可逆,x是A的对应特征值λ的特征向量,则（P的-1次AP）T对应λ的特征向量是?括号里那个就是这个式子,

Question

6、设A为n阶对称阵,P为n阶可逆,x是A的对应特征值λ的特征向量,则（P的-1次AP）T对应λ的特征向量是?
括号里那个就是这个式子,

Answer 1

因为 A 是对称矩阵, 所以 A^T=A
所以 (P^-1AP)^T = P^TA^T(P^-1)^T = P^TA(P^T)^-1
由已知 Ax = λx
等式两边左乘 P^T 得 P^TAx = λP^Tx,
所以 P^TA(P^T)^-1 P^Tx = λP^Tx
即有 (P^-1AP)^T P^Tx = λP^Tx
所以 (P^-1AP)^T 的属于特征值 λ 的特征向量为 P^Tx.