若A为一个n阶矩阵,且A^2=I,证明秩(A+I)+秩(A-I)=n秩（A+B）﹤=秩A+秩B

Question

若A为一个n阶矩阵,且A^2=I,证明秩(A+I)+秩(A-I)=n
秩（A+B）﹤=秩A+秩B

Answer 1

∵A^2=I
∴(A+I)(A-I)=0
∴r(A+I)+r(A-I)-n≤r((A+I)(A-I))=r(0)=0 (运用公式r(A)+r(B)-n≤r(AB))
即r(A+I)+r(A-I)≤n
又r(A+I)+r(A-I)=r(A+I)+r(I-A)≥r(A+I+I-A)=r(2I)=n
∴r(A+I)+r(A-I)=n