（1）A，B∈Pn×n，若AB=0，则秩（A）+秩（B）≤n．（2）A∈Pn×n，秩（A）=r，证明存在n阶可逆矩阵P，使PAP-1后n-r行全为零．

Question

（1）A，B∈P^n×n，若AB=0，则秩（A）+秩（B）≤n．
（2）A∈P^n×n，秩（A）=r，证明存在n阶可逆矩阵P，使PAP^-1后n-r行全为零．

Answer 1

证明：（1）由AB=0，知B的列向量是AX=0的解向量
而AX=0的基础解系所含解向量的个数为n-秩（A）
从而秩（B）≤n-秩（A）
即秩（A）+秩（B）≤n．
（2）由秩（A）=r，知A的行向量组的秩为r
即A的行向量组的极大无关组所含向量的个数为r
不妨设a_（1），a_（2），…，a_（r）是A的行向量组的最大线性无关组
则A的其余行向量a_（r+1），…，a_（n）都可由a_（1），a_（2），…，a_（r）线性表示，
设a_（i）=k_i1a_（1）+k_i2a_（2）+…+k_ira_（r），（i=r+1，…，m）
对A作行初等变换：r_i-k_i1r₁-k_i2r₂-…-k_irr_r，（i=r+1，…，m）（r_i表示第i行），且这些变换是可逆的
同时，也对A做相应的列变换（这些列变换是行变换的逆）
就可以使矩阵的第r+1行到第m行全化为0
所以A经行初等变换和列初等变换，总可以化为第r+1行到第n行全为0的矩阵，
即存在可逆阵P，使PAP^-1后n-r行全为零．