今将n2个数1,2,…,n2排成一个n阶行列式,使其每行没咧元素的和相等,证明该行列式能被全体元素的和整除n为奇数哈

Question

今将n2个数1,2,…,n2排成一个n阶行列式,使其每行没咧元素的和相等,证明该行列式能被全体元素的和整除
n为奇数哈

Answer 1

1,2,…,n^2 全体元素的和等于 n^2(n^2+1)/2
设A是n^2个数1,2,…,n2排成的一个n阶行列式,其每行每列元素的和相等
则 其每行每列元素的和为 n(n^2+1)/2
将A的所有列都加到第1列,则第1列的数都是 n(n^2+1)/2
把这个数从第1列提出来,第1列都变成1
然后,所有行都加到第1行
则第1行的元素为:n,n(n^2+1)/2,n(n^2+1)/2,.,n(n^2+1)/2
提出第1行的公因子n
行列式中的数仍然都是整数,所以行列式的值是整数
而2次提出的公因子为 n*n(n^2+1)/2 = n^2(n^2+1)/2
所以 |A| 可被 n^2(n^2+1)/2 整除.