高等代数设f（x）,g（x）为数域F上的互素多项式设f（x）,g（x）为数域F上的互素多项式,M∈F^n×n,A=f（M）,B=g(M)证明：ABX=0的解空间是AX=0与BX=0的解空间的直和

Question

高等代数设f（x）,g（x）为数域F上的互素多项式
设f（x）,g（x）为数域F上的互素多项式,M∈F^n×n,A=f（M）,B=g(M)证明：ABX=0的解空间是AX=0与BX=0的解空间的直和

Answer 1

先取多项式u,v使得uf+vg=1
那么u(M)A+v(M)B=I,得到ker(A)∩ker(B)={0},所以ker(A)+ker(B)是一个直和
然后注意ker(A)和ker(B)都是ker(AB)的子空间,所以ker(A)+ker(B)也是ker(AB)的子空间
最后由Sylveter不等式rank(AB)+n>=rank(A)+rank(B)得到
dim(ker(AB))