已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，其中n∈N*．（1）若a1=b1=2，a3-b3=9，a5=b5，试分别求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设A={k|ak=bk，k∈N*}，当数列{bn}的公比q<-1时，求集合A的元素个数的最

Question

已知{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，其中n∈N^*．
（1）若a₁=b₁=2，a₃-b₃=9，a₅=b₅，试分别求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设A={k|a_k=b_k，k∈N^*}，当数列{b_n}的公比q<-1时，求集合A的元素个数的最大值．

Answer 1

（1）设数列{a_n} 的公差为d（d≠0），数列{b_n} 的公差为q（q≠0，1），
则

2+2d-2q2=9

2+4d=2q4

，解得

d=(15)/(2)

q=±2

，
∴an=(15)/(2)n-(11)/(2)，bn=2n 或-（-2）ⁿ．
（2）不妨设an=a+bn(b≠0)，bn=pqn(pq≠0，q≠1)，则a+bn=pqⁿ，即(a)/(p)+(b)/(p)n=qn，
令s=(a)/(p)，t=(b)/(p)(t≠0)，问题转化为求关于n 的方程qⁿ-tn-s=0 （*）最多有多少个解．
①当t>0 时，∵q>1，∴函数f'（x） 单调递增，∴当x<x₀ 时，f'（x）x₀ 时，f'（x）>0，f（x） 单调递增，
∴方程（*）在（-∞，x₀） 和（x₀，+∞） 上最多各有1个解． 综上：当n∈N^* 时，方程（*）最多有3个解．
②当t<0 时，同理可知方程（*）最多有3个解．
事实上，设an=6n-8，bn=(-2)n 时，有a₁=b₁，a₂=b₂，a₄=b₄，所以A的元素个数最大值为3．