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已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形,如图,求证:EF=2AD.
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已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形,如图,求证:EF=2AD.
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▼优质解答
答案和解析
证明:延长AD至点G,使得AD=DG,连接BG,CG,
∵AD=DG,BD=CD,
∴四边形ABGC是平行四边形,
∴AC=AF=BG,AB=AE=CG,∠BAC+∠ABG=180°,
∵∠EAF+∠BAC=180°,
∴∠EAF=∠ABG,
在△EAF和△BAG中,
,
∴△EAF≌△BAG(SAS),
∴EF=AG,
∵AG=2AD,
∴EF=2AD.
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∵AD=DG,BD=CD,
∴四边形ABGC是平行四边形,
∴AC=AF=BG,AB=AE=CG,∠BAC+∠ABG=180°,
∵∠EAF+∠BAC=180°,
∴∠EAF=∠ABG,
在△EAF和△BAG中,
|
∴△EAF≌△BAG(SAS),
∴EF=AG,
∵AG=2AD,
∴EF=2AD.
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