已知椭圆对称轴为坐标轴,它的长轴长4根号10,高手进!已知椭圆对称轴为坐标轴,它的长轴长4根号10,在x轴上的一个焦点与短轴的两端连线之间的夹角为60度,过椭圆内一点M(4,-1)作弦AB,使AB被点M平

Question

已知椭圆对称轴为坐标轴,它的长轴长4根号10,高手进!
已知椭圆对称轴为坐标轴,它的长轴长4根号10,在x轴上的一个焦点与短轴的两端连线之间的夹角为60度,过椭圆内一点M(4,-1)作弦AB,使AB被点M平分,求AB的长
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Answer 1

设椭圆方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1,
2a=4√10,a=2√10,设短轴二端点为C、D,x轴上的一个焦点与短轴的两端连线之间的夹角为60度,三角形CDF是等边三角形,则b/c=tan30°,b=c√3/3,c=√3b,
b^2=a^2-c^2=a^2-3b^2,a^2/4=b^2,b=√10,
椭圆方程为：x^2/40+y^2/10=1,
设A（x1,y1）,B(x2,y2),
X1^2/40+y1^2/10=1,(1)
X2^2/40+y2^2/10=1,(2),
(1) 式-（2）式,
（x1^2-x2^2）/40+(y1^2-y2^2)/10=0,
1/4+[(y1-y2)/(x1-x2)]*[(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2],
其中,(y1-y2)/(x1-x2是AB弦的斜率k,
[(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]是AB的中点坐标纵坐标与横坐标的比值=-1/4,
1/4+k(-1/4)=0,
K=1,
AB方程为：（y+1）/(x-4)=1,y=x-5,
代入椭圆方程,x^2-8x-12=0.
根据韦达定理,X1+x2=8,x1*x2=-12,
根据弦长公式,|AB|=√[（1+k^2）(x1-x2)^2]=√（1+k^2）[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√2(64+48)=10√2.
∴|AB|=10√2..