已知圆x^2+y^2=3,过点P(1,3)作直线交于A,B两点,在AB上有一点Q,使向量PA=h向量PB,向量QA=h向量QB,且h不等于0,1或-1.求证：Q位于一条定直线上.

Question

已知圆x^2+y^2=3,过点P(1,3)作直线交于A,B两点,在AB上有一点Q,使向量PA=h向量PB,向量QA=h向量QB,且h不等于0,1或-1.求证：Q位于一条定直线上.

Answer 1

设直线的斜率为k,那么直线的方程为：y-3=k(x-1),
设Q点为(a,b),A为(a1,b1),B为(a2,b2),
则：b=3+k(a-1),b1=3+k(a1-1),b2=3+k(a2-1),
题目中应该是,在AB上有一点Q,使向量PA=h向量PB,向量QA=-h向量QB,
——》(1-a1)/(1-a2)=h=-(a-a1)/(a-a2),
——》2(a+a1a2)=(a+1)(a1+a2).（1）,
A、B在圆上,
——》a1、a2为方程x^2+[3+k(x-1)]^2=3的两个根,
整理方程得：(k^2+1)x^2-(2k^2-6k)x+(k^2-6k+6)=0,
由韦达定理：a1+a2=(2k^2-6k)/(k^2+1),a1a2=(k^2-6k+6)/(k^2+1),
代入式（1）,得：2[a+(k^2-6k+6)/(k^2+1)]=(a+1)[(2k^2-6k)/(k^2+1)]
解得：a=(3k-6)/(3k+1),
——》b=3+k(a-1)=(2k+3)/(3k+1),
——》a+3b-3=0,
即Q点在直线x+3y-3=0上,为一条定直线,
命题得证.