已知圆M：x?+（y-2)?=1,设点B,C是直线l：x-2y=0上的两点x?+（y-2)?=1,设点B,C是直线l：x-2y=0上的两点,它们的横坐标分别是t,t+4（t∈R）,点P在线段BC上,过点P做圆M的切线PA,切点为A,若t等于0,MP=√5,求直

Question

已知圆M：x?+（y-2)?=1,设点B,C是直线l：x-2y=0上的两点
x?+（y-2)?=1,设点B,C是直线l：x-2y=0上的两点,它们的横坐标分别是t,t+4（t∈R）,点P在线段BC上,过点P做圆M的切线PA,切点为A,若t等于0,MP=√5,求直线PA的方程

Answer 1

当t=0时,B(0,0)、C(4,2)
点P在线段BC上,则其一定在x-2y=0上,设点P(a,a/2)(0≤a≤4)
圆M：x^2+(y-2)^2=1的圆心M(0,2),半径r=1
已知MP=√5,所以：MP^2=5
而,MP^2=(a-0)^2+(a/2-2)^2=a^2+(a^2/4)-2a+4
所以：(5a^2/4)-2a+4=5
===> 5a^2-8a-4=0
===> (5a+2)(a-2)=0
===> a1=-2/5（舍去）,a2=2
所以,点P(2,1)
设过点P(2,1)且与圆M相切的直线方程为y-1=k(x-2),即：kx-y+(1-2k)=0
因为直线与圆M相切,那么圆心M(0,2)到直线的距离就等于圆M的半径r=1
所以,d=|0-2+(1-2k)|/√(k^2+1)=1
===> |-1-2k|=√(k^2+1)
===> (2k+1)^2=k^2+1
===> 4k^2+4k+1=k^2+1
===> 3k^2+4k=0
===> k*(3k+4)=0
===> k1=0,k2=-4/3
所以,直线PA的方程为： 4x+3y-11=0