当m，n是正实数，且满足m+n=mn时，就称点P（m，mn）为“完美点”，已知点A（0，5）与点M都在直线y=-x+b上，点B，C是“完美点”，且点B在线段AM上，若MC=3，AM=42，求△MBC的面积．

Question

当m，n是正实数，且满足m+n=mn时，就称点P（m，(m)/(n)）为“完美点”，已知点A（0，5）与点M都在直线y=-x+b上，点B，C是“完美点”，且点B在线段AM上，若MC=√(3)，AM=4√(2)，求△MBC的面积．

Answer 1

∵m+n=mn且m，n是正实数，
∴(m)/(n)+1=m，即(m)/(n)=m-1，
∴P（m，m-1），
即“完美点”P在直线y=x-1上，
∵点A（0，5）在直线y=-x+b上，
∴b=5，
∴直线AM：y=-x+5，
∵“完美点”B在直线AM上，
∴由

y＝x−1

y＝−x+5

解得

x＝3

y＝2

，
∴B（3，2），
∵一、三象限的角平分线y=x垂直于二、四象限的角平分线y=-x，而直线y=x-1与直线y=x平行，直线y=-x+5与直线y=-x平行，
∴直线AM与直线y=x-1垂直，
∵点B是直线y=x-1与直线AM的交点，
∴垂足是点B，
∵点C是“完美点”，
∴点C在直线y=x-1上，
∴△MBC是直角三角形，
∵B（3，2），A（0，5），
∴AB=3√(2)，
∵AM=4√(2)，
∴BM=√(2)，
又∵CM=√(3)，
∴BC=1，
∴S_△MBC=(1)/(2)BM•BC=(√(2))/(2)．