（2014•赤峰样卷）如图，过点A（0，3）的直线l1与x轴交于点B，tan∠ABO=34．过点A的另一直线l2：y=-34tx+b（t＞0）与x轴交于点Q，点P是射线AB上的一个动点，过P作PH⊥x轴于点H，设PB=5t．（1）求

题目详情

（2014•赤峰样卷）如图，过点A（0，3）的直线l₁与x轴交于点B，tan∠ABO=

．过点A的另一直线l₂：y=-

x+b （t＞0）与x轴交于点Q，点P是射线AB上的一个动点，过P作PH⊥x轴于点H，设PB=5t．
（1）求直线l₁的函数解析式；
（2）当点P在线段AB上运动时，设△PHQ的面积为S（S≠0），求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）当点P 在射线AB上运动时，是否存在这样的t值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△AOQ相似？若存在，直接写出所有满足条件的t值所对应的P点坐标；若不存在，请说明理由．

▼优质解答

答案和解析

（1）∵A（0，3），且tan∠ABO=

，
∴B（4，0），
设y=kx+b，将A（0，3）B（4，0）代入上式得：

b＝3

4k+b＝0

，
解得k=-

，b=3，
∴函数解析式为y=-

x+3；

（2）由B（4，0）．
∴OB=4，
∵OA=3，
∴AB=5．
∵PH⊥x轴，
∴PH∥OA，
∴△BHP∽△BOA，
∵OA：OB：AB=3：4：5，
∴HP：HB：BP=3：4：5，
∵PB=5t，
∴HB=4t，HP=3t．
∴OH=OB-HB=4-4t．
由y=-

x+3与x轴交于点Q，得Q（4t，0），
①当H在Q、B之间时（如图1），QH=OH-OQ=（4-4t）-4t=4-8t．
∴S=

（4-8t）×3t=-12t²+6t（0＜t≤

）；
②当H在O、Q之间时（如图2），QH=OQ-OH=4t-（4-4t）=8t-4．
S=

（8t-4）3t=12t²-6t（

＜t≤1）；

（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△AOQ相似．
①当H在Q、B之间时，BH=4t，OQ=4t，PH=3t，
∴QH=4-8t，

当△OAQ∽△HQP时，

＝

，
即

＝

4−8t

，
解得：t₁=

，则P₁（

，

）；
当△OAQ∽△HQP时，

＝

，
即

4−8t

＝

，
解得：t₂=