已知定义域为R的函数f（x）满足：f（x+π）=f(x)π，且x∈[-π2，π2]时，f（x）=xsinx+cosx-π2，则当x∈[-3π，-2π]时，f（x）的最小值为（）A．2π3−π42B．2π2−π32C．2−π2πD．2−π2π2

Question

已知定义域为R的函数f（x）满足：f（x+π）=(f(x))/(π)，且x∈[-(π)/(2)，(π)/(2)]时，f（x）=xsinx+cosx-(π)/(2)，则当x∈[-3π，-2π]时，f（x）的最小值为（　　）

A．(2π3−π4)/(2)
B．(2π2−π3)/(2)
C．(2−π)/(2π)
D．(2−π)/(2π2)

Answer 1

∵f（x+π）=(f(x))/(π)，
∴f（x+kπ）=(f(x))/(πk)，k∈Z，
即f（x）=π^kf（x+kπ），
又∵x∈[-(π)/(2)，(π)/(2)]时，f（x）=xsinx+cosx-(π)/(2)，
①当x∈[-3π，-(5π)/(2)]时，x+3π∈[-0，(π)/(2)]，
此时f（x+3π）=（x+3π）sin（x+3π）+cos（x+3π）-(π)/(2)=-（x+3π）six-cosx-(π)/(2)，
则f（x）=π³f（x+kπ）=-π³[（x+3π）six+cosx+(π)/(2)]，
则f′（x）=-π³（x+3π）cosx≥0，故此时f（x）为增函数，
最小值为f（-3π）=(2π3−π4)/(2)，
②当∈[-(5π)/(2)，-2π]时，x+2π∈[-(π)/(2)，0]，
此时f（x+2π）=（x+2π）sin（x+2π）+cos（x+2π）-(π)/(2)=（x+2π）six+cosx-(π)/(2)，
则f（x）=π²f（x+kπ）=π²[（x+2π）six+cosx-(π)/(2)]，
则f′（x）=π²（x+2π）cosx≥0，故此时f（x）为增函数，
综上f（x）的最小值为f（-3π）=(2π3−π4)/(2)，
故选：A