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若n阶矩阵满足A^2-3A-7E=0,试证A+E可逆,并求(A+E)^-1
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若n阶矩阵满足A^2-3A-7E=0,试证A+E可逆,并求(A+E)^-1
▼优质解答
答案和解析
设B = A+E,那么A = B-E
所以(B-E)^2-3(B-E)-7E=0,化简得到B^2-5B-3E=0
也就是B(B-5E) = 3E
所以A+E=B可逆,其逆矩阵是B^-1=(B-5E)/3 = (A-4E)/3
所以(B-E)^2-3(B-E)-7E=0,化简得到B^2-5B-3E=0
也就是B(B-5E) = 3E
所以A+E=B可逆,其逆矩阵是B^-1=(B-5E)/3 = (A-4E)/3
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