数列{an}满足a1=1且an+1=（1+1n2+n）an+12n（n≥1）．（Ⅰ）用数学归纳法证明：an≥2（n≥2）；（Ⅱ）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：an＜e2（n≥1），其中无理数e=2.71828…．

Question

数列{a_n}满足a₁=1且a_n+1=（1+(1)/(n2+n)）a_n+(1)/(2n)（n≥1）．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：a_n≥2（n≥2）；
（Ⅱ）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：a_n＜e²（n≥1），其中无理数e=2.71828…．

Answer 1

（Ⅰ）证明：
①当n=2时，a₂=2≥2，不等式成立．
②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即a_k≥2（k≥2），
那么a_k+1=（1+(1)/(k(k+1))）a_k+(1)/(2k)≥2．这就是说，当n=k+1时不等式成立．
根据（1）、（2）可知：a_k≥2对所有n≥2成立．
（Ⅱ）由递推公式及（Ⅰ）的结论有a_n+1=（1+(1)/(n2+n)）a_n+(1)/(2n)≤（1+(1)/(n2+n)+(1)/(2n)）a_n（n≥1）
两边取对数并利用已知不等式得lna_n+1≤ln（1+(1)/(n2+n)+(1)/(2n)）+lna_n≤lna_n+(1)/(n2+n)+(1)/(2n)
故lna_n+1-lna_n≤(1)/(n(n+1))+(1)/(2n)（n≥1）．
上式从1到n-1求和可得lna_n-lna₁≤(1)/(1×2)+(1)/(2×3)+…+(1)/((n−1)n)+(1)/(2)+(1)/(22)+…+(1)/(2n−1)
=1-(1)/(2)+（(1)/(2)-(1)/(3)）+…+(1)/(n−1)-(1)/(n)+(1)/(2)•(1−(1)/(2n))/(1−(1)/(2))=1-(1)/(n)+1-(1)/(2n)＜2
即lna_n＜2，故a_n＜e²（n≥1）．