设n（n>2）阶非零实数矩阵A满足A的伴随矩阵等于A的转置,证明|A|=1,且A是正交矩阵,即A（T)×A=A×A(T)=E

Question

设n（n>2）阶非零实数矩阵A满足A的伴随矩阵等于A的转置,证明|A|=1,且A是正交矩阵,即A（T)×A=A×A(T)=E

Answer 1

这个要分两步做.
1.AA'=|A|I,取行列式得|A|^2=|A|^n,
因为A是实矩阵,|A|是实数,故|A|=0或|A|=1.
(注意,即使n是偶数,|A|也不能是-1,否则AA'=-I不可能是半正定阵)
2.若|A|=0,那么rank(A)