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在Rt△POQ中,OP=OQ=4,M是PQ中点,把一三角尺的直角顶点放在点M处,以M为旋转中心,如图1,旋转三角尺,若三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B,(1)求证:MA=MB;(2)连接A
题目详情
在Rt△POQ中,OP=OQ=4,M是PQ中点,把一三角尺的直角顶点放在点M处,以M为旋转中心,如图1,旋转三角尺,若三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B,
(1)求证:MA=MB;
(2)连接AB,探究:在旋转三角尺的过程中,△AOB的周长是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,若将三角尺绕点M继续旋转,其直角边与Rt△POQ的直角边的延长线交于点A、B,求证:S△MAB=S△AOB+
S△POQ.
(1)求证:MA=MB;
(2)连接AB,探究:在旋转三角尺的过程中,△AOB的周长是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,若将三角尺绕点M继续旋转,其直角边与Rt△POQ的直角边的延长线交于点A、B,求证:S△MAB=S△AOB+
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▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图,过点M作ME⊥OP于点E,作MF⊥OQ于点F,
∵∠O=90°,∠MEO=90°,∠OFM=90°
∴四边形OEMF是矩形,
∵M是PQ的中点,OP=OQ=4,∠O=90°,
∴ME=
OQ=2,MF=
OP=2,
∴ME=MF,
∴四边形OEMF是正方形,
∵∠AME+∠AMF=90°,∠BMF+∠AMF=90°,
∴∠AME=∠BMF,
在△AME和△BMF中,
,
∴△AME≌△BMF(ASA),
∴MA=MB;
(2)有最小值,最小值为4+2
.
理由如下:根据(1)△AME≌△BMF,
∴AE=BF,
设OA=x,则AE=2-x,
∴OB=OF+BF=2+(2-x)=4-x,
在Rt△AME中,AM=
=
,
∵∠AMB=90°,MA=MB,
∴AB=
AM=
∵∠O=90°,∠MEO=90°,∠OFM=90°
∴四边形OEMF是矩形,
∵M是PQ的中点,OP=OQ=4,∠O=90°,
∴ME=
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∴ME=MF,
∴四边形OEMF是正方形,
∵∠AME+∠AMF=90°,∠BMF+∠AMF=90°,
∴∠AME=∠BMF,
在△AME和△BMF中,
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∴△AME≌△BMF(ASA),
∴MA=MB;
(2)有最小值,最小值为4+2
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理由如下:根据(1)△AME≌△BMF,
∴AE=BF,
设OA=x,则AE=2-x,
∴OB=OF+BF=2+(2-x)=4-x,
在Rt△AME中,AM=
AE2+ME2 |
(2−x)2+22 |
∵∠AMB=90°,MA=MB,
∴AB=
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(3)通过ASA易证得△OMA≌△QMB,得出S△AOM=S△QBM,然后根据割补法易求得S△MAB=S△AOB+
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- 名师点评
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- 本题考点:
- 全等三角形的判定与性质;勾股定理;等腰直角三角形.
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- 考点点评:
- 本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角的性质,三角形的中位线定理,勾股定理的应用,以及二次函数的最值问题,作出辅助线,把动点问题转化为固定的三角形,构造出全等三角形是解题的关键,也是本题的难点.
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