如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，O是AC的中点，A1O⊥平面ABC，∠BCA=90°，AA1=AC=BC．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1；（Ⅱ）求二面角A-BB1-C的余弦值．

Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，O是AC的中点，A₁O⊥平面ABC，∠BCA=90°，AA₁=AC=BC．
（Ⅰ）求证：A₁B⊥AC₁；
（Ⅱ）求二面角A-BB₁-C的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）因为A₁O⊥平面ABC，所以A₁O⊥BC．
又BC⊥AC，所以BC⊥平面A₁ACC₁，
所以AC₁⊥BC．…（2分）
因为AA₁=AC，所以四边形A₁ACC₁是菱形，
所以AC₁⊥A₁C．
所以AC₁⊥平面A₁BC，
所以A₁B⊥AC₁．…（5分）
（Ⅱ）以OC为单位长度，
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则A（0，-1，0），B（2，1，0），
C（0，1，0），C₁（0，2，√(3)）．

AB

=（2，2，0），

BB1

＝

CC1

=（0，1，√(3)），
设=（x，y，z）是面ABB₁的一个法向量，
则

m

•

AB

=0，

作业搜用户 2017-11-14