自选题：已知曲线C1：x＝cosθy＝sinθ（θ为参数），曲线C2：x＝22t−2y＝22t（t为参数）．（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为

Question

自选题：已知曲线C₁：

x＝cosθ

y＝sinθ

（θ为参数），曲线C₂：

x＝(√(2))/(2)t−√(2)

y＝(√(2))/(2)t

（t为参数）．
（Ⅰ）指出C₁，C₂各是什么曲线，并说明C₁与C₂公共点的个数；
（Ⅱ）若把C₁，C₂上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C₁′，C₂′．写出C₁′，C₂′的参数方程．C₁′与C₂′公共点的个数和C与C₂公共点的个数是否相同？说明你的理由．

Answer 1

（Ⅰ）C₁是圆，C₂是直线．C₁的普通方程为x²+y²=1，
圆心C₁（0，0），半径r=1．C₂的普通方程为x−y+√(2)＝0．
因为圆心C₁到直线x−y+√(2)＝0的距离为1，
所以C₂与C₁只有一个公共点．
（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为C₁′：

x＝cosθ

y＝(1)/(2)sinθ

（θ为参数）；
C₂′：

x＝(√(2))/(2)t−√(2)

y＝(√(2))/(4)t

（t为参数）．
化为普通方程为：C₁′：x²+4y²=1，C₂′：y＝(1)/(2)x+(√(2))/(2)，
联立消元得2x2+2√(2)x+1＝0，
其判别式△＝(2√(2))2−4×2×1＝0，
所以压缩后的直线C₂′与椭圆C₁′仍然只有一个公共点，和C₁与C₂公共点个数相同．