已知A（-a,0）,B（a,0）（a＞0）是x轴上两定点,动点M在x轴上的射影为N且满足条件：向量MN^2=m向量AN·向量NB（m≠0）.求动点M的轨迹方程C,并说明m=1是轨迹是什么曲线

Question

已知A（-a,0）,B（a,0）（a＞0）是x轴上两定点,动点M在x轴上的射影为N且满足条件：向量MN^2=m向量AN·向量NB（m≠0）.求动点M的轨迹方程C,并说明m=1是轨迹是什么曲线

Answer 1

可设点M(x,y).则点N(x,0)
向量MN=(0,-y).
向量AN=(a+x,0)
向量NB=(a-x,0).
∴MN²=(0,-y)*(0,-y)=y².
AN*NB=(a+x,0)*(a-x,0)=a²-x²
由题设可得：y²=m(a²-x²)
∴动点M的轨迹方程为：
mx²+y²=ma²
当m=1时,轨迹方程为：
x²+y²=a²
∴此时动点M的轨迹是圆心为原点（0,0）
半径为a的圆.