如图，设点A和B是抛物线y2=4px上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.

Question

如图，设点A和B是抛物线y ² =4px上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.

Answer 1

点A、B在抛物线y2=4px上，设A( yA) B( yB) 则=( yA) =( yB) =( yB-yA).    因为⊥，所以·+yA·yB=0，即yA·yB=-16p2.    设M=(x y)，则=(x y) =(-x yA-y) =(-x yB-y).    因为⊥，所以x·+y(yB-yA)=0 即x·+y=0.    又因为A、B、M三点共线，所以∥     即(-x)(yB-y)=(-x)(yA-y).    化简得yA+yB=     所以x·+y=0，    即x2+y2-4px=0.    因为A、B是原点以外的两点，所以x≠0.所以点M的轨迹是以(2p 0)为圆心，以2p为半径的圆(去掉原点).