设A为一可对角化矩阵,它的特征值全为1或者全为-1,证明A的逆矩阵=A.

Question

设A为一可对角化矩阵,它的特征值全为1或者全为-1,证明A的逆矩阵=A.

Answer 1

证明: 因为A可对角化, A的特征值全为1或者-1 (与你给的已知不同)
所以存在可逆矩阵P, 满足 P^-1AP=diag(λ1,λ2,...,λn)
其中 λi=±1, i=1,2,...,n.
所以 λi^-1 = λi.
所以 A=Pdiag(λ1,λ2,...,λn)P^-1
所以 A^-1=[Pdiag(λ1,λ2,...,λn)P^-1]^-1
= Pdiag(λ1,λ2,...,λn)^-1P^-1
= Pdiag(λ1^-1,λ2^-1,...,λn^-1)P^-1
= Pdiag(λ1,λ2,...,λn)P^-1
= A.
注:若A的特征值全为1, 则A=E; 若A的特征值全为-1, 则A=-E.
结论trivial. 所以猜想A的特征值全为1或者-1.
另: 有疑问请追问, 搞定请采纳.