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(2014•玉林)如图,在正方形ABCD中,点M是BC边上的任一点,连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN,在CD边上取点P使CP=BM,连接NP,BP.(1)求证:四边形BMNP是平行四边形;(2)线段
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(2014•玉林)如图,在正方形ABCD中,点M是BC边上的任一点,连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN,在CD边上取点P使CP=BM,连接NP,BP.
(1)求证:四边形BMNP是平行四边形;
(2)线段MN与CD交于点Q,连接AQ,若△MCQ∽△AMQ,则BM与MC存在怎样的数量关系?请说明理由.
(1)求证:四边形BMNP是平行四边形;
(2)线段MN与CD交于点Q,连接AQ,若△MCQ∽△AMQ,则BM与MC存在怎样的数量关系?请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠B,
在△ABM和△BCP中,
,
∴△ABM≌△BCP(SAS),
∴AM=BP,∠BAM=∠CBP,
∵∠BAM+∠AMB=90°,
∴∠CBP+∠AMB=90°,
∴AM⊥BP,
∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN,
∴AM⊥MN,且AM=MN,
∴MN∥BP,
∴四边形BMNP是平行四边形;
(2)BM=MC.
理由如下:∵∠BAM+∠AMB=90°,∠AMB+∠CMQ=90°,
∴∠BAM=∠CMQ,
又∵∠ABC=∠C=90°,
∴△ABM∽△MCQ,
∴
=
,
∵△MCQ∽△AMQ,
∴△AMQ∽△ABM,
∴
=
,
∴
=
,
∴BM=MC.
在△ABM和△BCP中,
|
∴△ABM≌△BCP(SAS),
∴AM=BP,∠BAM=∠CBP,
∵∠BAM+∠AMB=90°,
∴∠CBP+∠AMB=90°,
∴AM⊥BP,
∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN,
∴AM⊥MN,且AM=MN,
∴MN∥BP,
∴四边形BMNP是平行四边形;
(2)BM=MC.
理由如下:∵∠BAM+∠AMB=90°,∠AMB+∠CMQ=90°,
∴∠BAM=∠CMQ,
又∵∠ABC=∠C=90°,
∴△ABM∽△MCQ,
∴
AB |
MC |
AM |
MQ |
∵△MCQ∽△AMQ,
∴△AMQ∽△ABM,
∴
AB |
BM |
AM |
MQ |
∴
AB |
MC |
AB |
BM |
∴BM=MC.
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