已知抛物线y=－1\4x²+bx+c与X轴交于A,B两点,与y轴交于点C,连结AC,BC,D是线段OB上一动点,以CD已知抛物线y=－1\4x²+bx+c与X轴交于A,B两点,与y轴交于点C,连结AC,BC,D是线段用户名：蒋******|分类：

Question

已知抛物线y=－1\4x²+bx+c与X轴交于A,B两点,与y轴交于点C,连结AC,BC,D是线段 OB上一动点,以CD
已知抛物线y=－1\4x²+bx+c与X轴交于A,B两点,与y轴交于点C,连结AC,BC,D是线段
用户名：蒋****** |分类：初中数学 |浏览845次2014-01-16 17:48
OB上一动点,以CD为一边向右侧作正方形CDEF,连结BF,若S△OBC=8,AC=BC.（1）求抛物线的解析式；（2）求证：BF⊥AB；（3）求∠FBE的度数；（4）当D点沿x轴正方向移动到点B时,点E也随着移动,求点E所走过的路线长

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为y轴,则b=0；然后利用方程与二次函数的关系求得点B、C的坐标,由S△OBC=8可以求得c的值；
（2）由抛物线y=-1/4 x^2+4交x轴于点A、B,当x=0,求出图象与y轴的交点坐标,以及y=0,求出图象与x轴的交点坐标,即可得出三角形的形状；首先证明△ACD≌△BCF,利用三角形的全等,得出∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°,即可得出答案；
（3）如图,连接BE,过点E作EM⊥x轴于点M．易证△ODC≌△DME,则DM=OC=4,OD=EM．易求BM=EM．则∠MBE=∠MEB=45°；由（2）知,BF⊥AB,故 ∠FBE=∠FBM-∠MBE=45°；
（4）由（3）知,点E在定直线上,当点D沿x轴正方向移动到点B时,点E所走过的路程长等于BC的长度．
（1）如图,∵AC=BC,
∴该抛物线的对称轴是y轴,则b=0．
∴C（0,c）,B（根号4c ,0）．
∵S△OBC=8,
∴1/2OC•OB=1 /2×c×根号4c=8,解得c=4（c＞0）．
故该抛物线的解析式为y=-1/4x^2+4；
（2）证明：由（1）得到抛物线的解析式为y=-1/4x^2+4；
令y=0,得x1=4,x2=-4,
∴A（-4,0）,B（4,0）,
∴OA=OB=OC,
∴△ABC是等腰直角三角形；
如图,又∵四边形CDEF是正方形,
∴AC=BC,CD=CF,∠ACD=∠BCF,
在△ACD和△BCF中
AC＝BC;
∠ACD＝∠BCF;
CD＝CF;
∴△ACD≌△BCF（SAS）,
∴∠CBF=∠CAD=45°,
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°,
∴BF⊥AB；
（3）如图,连接BE,过点E作EM⊥x轴于点M．
易证△ODC≌△DME,则DM=OC=4,OD=EM．
∵OD=OB-BD=4-BD=DM-BD=BM,
∴BM=EM．
∵∠EMB=90°,
∴∠MBE=∠MEB=45°；
由（2）知,BF⊥AB,
∴∠FBE=∠FBM-∠MBE=45°；
（4）由（3）知,点E在定直线上,当点D沿x轴正方向移动到点B时,点E所走过的路程长等于BC=4根号2