已知抛物线C的顶点在原点焦点F在x轴正半轴上设AB是抛物线C上的两个动点已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直

Question

已知抛物线C的顶点在原点焦点F在x轴正半轴上设AB是抛物线C上的两个动点
已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒过定点Q（6,0）,求此抛物线的方程

Answer 1

设抛物线方程为y^2=2px
A(x1,y1) B(x2,y2) 设直线AB斜率为k 线段AB中点为M(x0,y0)
则x1+x2=2x0 y1+y2=2y0
y1^2=2px1
y2^2=2px2 相减
(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2)
k(y1+y2)=2p y0=p/k
|AF|+|BF|=8 x1+x2=8-p x0=4-p/2
线段AB的垂直平分线恒过定点Q（6,0）,
设 线段AB的垂直平分线方程为 y=-1/k(x-6) M在垂直平分线上
所以 p/k=-1/k(4-p/2-6)
p=2+p/2
p=4
此抛物线的方程为 y^2=4x