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如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知M为棱AB的中点.(1)证明:AC1∥平面B1MC;(2)证明:平面D1B1C⊥平面B1MC.
题目详情
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知M为棱AB的中点.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/23/1535003011-5364.jpg)
(1)证明:AC1∥平面B1MC;
(2)证明:平面D1B1C⊥平面B1MC.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/23/1535003011-5364.jpg)
(1)证明:AC1∥平面B1MC;
(2)证明:平面D1B1C⊥平面B1MC.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)如图,
连接BC1交B1C于点O,则O是BC1的中点,
又因为M 是AB的中点,连接OM,则OM∥AC1.
因为OM⊂平面B1MC,AC1⊄平面B1MC,
所以AC1∥平面B1MC.
(2)因为AB⊥平面BCC1B1,B1C⊂平面BCC1B1,
所以AB⊥B1C.
又因为B1C⊥BC1,且AB∩BC1=B,所以B1C⊥平面ABC1.
因为AC1⊂平面ABC1,AC1⊥B1C.
同理,AC1⊥B1D1.因为B1D1∩B1C=B1,
所以AC1⊥平面D1B1C.
因为OM∥AC1,所以OM⊥平面D1B1C.OM⊂平面B1MC,所以平面D1B1C⊥平面B1MC.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/23/1535003010-6305.jpg)
连接BC1交B1C于点O,则O是BC1的中点,
又因为M 是AB的中点,连接OM,则OM∥AC1.
因为OM⊂平面B1MC,AC1⊄平面B1MC,
所以AC1∥平面B1MC.
(2)因为AB⊥平面BCC1B1,B1C⊂平面BCC1B1,
所以AB⊥B1C.
又因为B1C⊥BC1,且AB∩BC1=B,所以B1C⊥平面ABC1.
因为AC1⊂平面ABC1,AC1⊥B1C.
同理,AC1⊥B1D1.因为B1D1∩B1C=B1,
所以AC1⊥平面D1B1C.
因为OM∥AC1,所以OM⊥平面D1B1C.OM⊂平面B1MC,所以平面D1B1C⊥平面B1MC.
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