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如图,在四棱椎P-ABCD中,底面ABCD是∠BAD=60°且边长为2的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD;(2)求二面角A-BC-P的大小;(3)若
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(1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD;
(2)求二面角A-BC-P的大小;
(3)若E为BC的中点,能否在棱PC上找一点F,使得平面DEF⊥平面ABCD,并证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵PA=PD,AG=GD,∴PG⊥AD
∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PG⊥平面ABCD,BG⊂平面ABCD
∴PG⊥BG
又四边形ABCD为菱形,且∠BAD=60°,
∴AD⊥BG,PG∩AD=G
∴BG⊥平面PAD
(2)∵PG⊥平面ABCD,∴BC⊥PG
又∵BC⊥BG
∴BC⊥平面PBG
∴∠PBG为二面角A-BC-P的平面角,
在Rt△PGB中,PG=BG,∴∠PBG=45°
所以二面角A-BC-P大小为45°
(3)取PC的中点F,则点F即为所求的点
证明:∵E为BC的中点,∴EF∥PB,PB⊂平面PBG
∴EF∥平面PBG
在菱形ABCD中,DE∥BG,BG⊂平面PBG
∴DE∥平面PBG,DE∩EF=E
∴平面DEF∥平面PBG ①
∵PG⊥平面ABCD,PG⊂平面PBG
∴平面PBG⊥平面ABCD ②
由①②,平面DEF⊥平面ABCD
∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PG⊥平面ABCD,BG⊂平面ABCD
∴PG⊥BG
又四边形ABCD为菱形,且∠BAD=60°,
∴AD⊥BG,PG∩AD=G
∴BG⊥平面PAD
(2)∵PG⊥平面ABCD,∴BC⊥PG
又∵BC⊥BG
∴BC⊥平面PBG
∴∠PBG为二面角A-BC-P的平面角,
在Rt△PGB中,PG=BG,∴∠PBG=45°
所以二面角A-BC-P大小为45°
(3)取PC的中点F,则点F即为所求的点
证明:∵E为BC的中点,∴EF∥PB,PB⊂平面PBG
∴EF∥平面PBG
在菱形ABCD中,DE∥BG,BG⊂平面PBG
∴DE∥平面PBG,DE∩EF=E
∴平面DEF∥平面PBG ①
∵PG⊥平面ABCD,PG⊂平面PBG
∴平面PBG⊥平面ABCD ②
由①②,平面DEF⊥平面ABCD
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