椭圆的一个焦点（0,5倍根号2）且截直线3x-y-2=0,所得弦AB的点的中点横坐标为1/2,求椭圆的标准方程.

Question

椭圆的一个焦点（0,5倍根号2）且截直线3x-y-2=0,所得弦AB的点的中点横坐标为1/2,求椭
圆的标准方程.

Answer 1

∵中心在原点,一个焦点c（0,5√2）
∴长轴在y轴上
设椭圆方程为x的平方/b方 + y方/a方=1
b=根号下a方- c方→b方=a方-c方=a方-50
设直线与椭圆的两个焦点坐标为（x1,y1） , (x2,y2)
∵被直线y=3x-2截得弦的中点横坐标为1/2
∴（x1+x2）/2 = 1/2
∴x1+x2=1
x1方/（a方- 50） + y1方/a方 =1 （1）
x2方/（a方- 50） + y2方/a方=1 （2）
y1, y2用公式y=3x-2中3x-2代替
然后用（1）-（2）得
（x1+x2）*(x1-x2)/a方-50 + （3x1-2）方-（3x2-2）方/a方= 0（3）
∵x1+x2=1
式（3）整理得
(x1-x2)/a方-50 - 3(x1-x2)/a方 =0
解得a方=75
b方=25
椭圆方程为
y²/75+x²/25=1
有帮助的话请给好评~~~谢谢~~~